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Encuentran que un fractal conocido cuantifica a otro más misterioso

El 'tamiz de Apolonio' mide la capacidad de la 'pila de arena abeliana' de 'recordar' sus orígenes


Científicos de la Universidad de Cornell han observado que un fractal especialmente extraño, el de la 'pila de arena abeliana', está relacionado con otro más familiar para los matemáticos, el 'tamiz de Apolonio'. La pila de arena abeliana se forma a partir de una cuadrícula con granitos de arena, y mediante una regla muy sencilla: cuando hay más de cuatro granos en un solo cuadrado, cada uno de ellos se reparte en los cuatro cuadrados adyacentes. El 'tamiz de Apolonio' mide la capacidad del fractal pila de arena para 'recordar' que empezó siendo una cuadrícula.





Fractal pila de arena estable, que comenzó con un millón de granos de arena en un cuadrado. Los coloreados en azul tienen tres granos, los púrpuras dos, los rojos uno y los blancos cero. Imagen: Levine/Pedgen/Smart. Fuente: Universidad de Cornell.
Fractal pila de arena estable, que comenzó con un millón de granos de arena en un cuadrado. Los coloreados en azul tienen tres granos, los púrpuras dos, los rojos uno y los blancos cero. Imagen: Levine/Pedgen/Smart. Fuente: Universidad de Cornell.
Imagine un montón de granos de arena -digamos, mil millones- en un cuadrado de una gran hoja de papel cuadriculado. Si cuatro o más granos ocupan un cuadrado, esa cuadrado se viene abajo enviando un grano a cada una de los cuatro cuadrados adyacentes.

Siga haciendo zoom hacia afuera de modo que los cuadrados se hagan muy pequeños, y algo extraño sucederá: La arena todavía "recuerda" que solía vivir en una red cuadrada, y un patrón distintivo emerge. Hermoso para empezar, este fenómeno, que ha dejado perplejos a los matemáticos durante décadas, se denomina fractal de la pila de arena abeliana.

Los matemáticos de la Universidad de Cornell (Nueva York, EE.UU.) ofrecen una nueva forma de ver este fractal, cuantificando la dependencia de su formación respecto a esa rejilla cuadrada original. Esta cuantificación podría revelar nuevos conocimientos sobre el concepto de "criticidad autoorganizada" que consiste en que unas pocas reglas simples den como resultado patrones complejos. Resulta que esta cuantificación es otro fractal, uno más familiar para el mundo de las matemáticas, llamado tamiz de Apolonio.

Esta nueva cuantificación se detalla en un documento, presentado para su publicación, por Lionel Levine y Charlie Smart, ambos profesores ayudantes de matemáticas en Cornell, y Wesley Pegden, de la Universidad Carnegie Mellon (Pensilvania, EE.UU.).

El tamiz de Apolonio cuantifica la capacidad del fractal pila de arena para recordar que solía vivir en una red cuadrada. Imagen: Levine/Pedgen/Smart. Fuente: Universidad de Cornell.
El tamiz de Apolonio cuantifica la capacidad del fractal pila de arena para recordar que solía vivir en una red cuadrada. Imagen: Levine/Pedgen/Smart. Fuente: Universidad de Cornell.
La complejidad de lo simple

"Estamos tratando de averiguar por qué esta sencilla regla produce un fractal tan complicado", explica Levine en la información de Cornell. El estudio de estos resultados podría aplicarse a muchos tipos de sistemas auto-organizados -por ejemplo, la forma en que se propagan los incendios forestales, o cómo los terremotos se agrupan en torno a líneas de falla específicas-.

"No podemos decir exactamente cuándo ocurrirá un terremoto", señala Levine. "Eso es porque los sistemas son increíblemente complicados. Una cosa que ayudaría a mejorar las predicciones sería que supiéramos en qué detalles concretos del sistema de fallas centrarnos: cuáles son relevantes y cuáles no son importantes".

En el fractal pila de arena, el detalle que puede parecer poco importante -el hecho de que se inició en una rejilla cuadrada- en realidad es crucial, señala Levine. Y el tamiz de Apolonio mide el "recuerdo" de esa red del fractal pila de arena.

"Nadie esperaba que estos dos fractales estuvieran conectados", afirma Smart. "El hecho de que lo estén es espectacular."

Referencia bibliográfica:

Lionel Levine, Wesley Pegden, Charles K. Smart: Apollonian structure in the Abelian sandpile. arXiv:1208.4839v2.


Jueves, 12 de Marzo 2015
Universidad de Cornell/T21
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